Upoređivanje oscilatornog kretanja s ravnomjernim kružnim kretanjem

Kružno kretanje je periodično i možemo ga ostvariti ako zavrtimo kuglcu na koncu u horizontalnoj ravni. Usmjerimo snop svjetlosti na kuglicu i posmatrajno njenu sjenku na zaklonu.
Činjenica je da je ravnomjerno kružno kretanje složeno,a komponente su mu dva nezavisna oscilatorna kretanja.
Da bi se to pokazalo treba uporediti projekciju kružnog kretanja kuglice s oscilatornim kretanjem tijela i povezati veličine koje opisuju kružno kretanje i oscilatorno kretanje.
Veličine koje opisuju kružno kretanje:
                                           -linijska brzina: v=s/t , odnosno , v=2πr/t
                                           -ugaona brzina: ω=φ/t , odnosno, ω=2πt



Pošto se brzina mijenja po pravcu, znači da na tijelo djeluje sila usmjerena ka cenrtu kružnice. To je centripetalna sila:
                                                                  F_cp=ma_cp,
koja tijelu daje centripetalno ubrzanje:
                                                      a_cp =v²r   ili   a_cp= (ωr)²/r
pa za ubrzanje i silu imamo izaze:
                                                       a_cp= ω²r   ,   F_cp=m ω²r



Sila F_cp izaziva kružno kretanje kuglice u vertikalnoj ravni, a njena projekcija na vertikalnu osu (F) izaziva oscilatorno kretanje sjenke. Kretanje sjenke je ubrzano, a takvo kretanje opisujemo pređenim putem (x), brzinom (v) i ubrzanjem (a).
Sada, možemo ustanoviti ponašanje ih veličina u toku vremena.



Uporedimo položaj kuglice na križnici radijusa r i odgovarajuće položaje sjenke na zaklonu (x). Dok kuglica opiše puni krug sjenka napravi jednu punu oscilaciju OA'OB'O. U položaju A' sjenka je udaljena za amplitudu x₀ od ravnotežnog položaja
O. To odgovara položaju 3 kuglice na kružnici pa je x₀=r.
Proizvoljan položaj kuglice je:
                                                         x/r=sin φ  ,   x=rsin φ
pa imamo jednačinu koja predstavlja zavisnost elongacije x od vremena t:
                                                                  x= x₀sin ωt
dok će jednačina za elongaciju, u bilo kom trenutku biti:
                                                              x= x₀sin(ωt+ φ₀)
gdje je (ωt+ φ₀) fazni ugao, a φ₀ početna faza.
Linijska brzina v₀ kuglice u proizvoljnoj tački ima pravac tangente na kružnicu, a njena projekcija na vertikalnu osu je brzina kretanja sjenke(v). Ugao između v i v₀ je također v i v₀, odakle imamo da je:
                                                   v= v₀cos φ ; v₀= ωr ; v₀=ω x_{0 ,}
pa je:
                                                               v= ω x₀ cos φ.
Ova jednačina predstavlja zavisnost brzine osciliranja od vremena.



Kretanje sjenke izaziva sila F_x=F, pa je:
                                                             sin φ=F/ F_cp 
,a odatle je:
                                                              F= F_cpsin φ
Kako je F_cp=m ω²r , tj. F_cp=m ω² x₀ , slijedi da je: F=- m ω² x.
Znak minus dolazi zbog toga što je sila F usmjerena ka ravnotežnom položaju, suprotno elongaciji x.
Kako su m i ω konstante za ravnomjerno kružno kretanje, dobije se: k= m ω² ,a koristeći II Newonov zakon F=ma, dobijamo:
                                                 a=- ω² x    ,   a=- ω² x₀sin ωt.
Ova jednačina predstavlja zavisnost ubrzanja od vremena.